Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，已知点P（0，1）在圆C：x2+y2+2mx﹣2y+m2﹣4m+1=0内，若存在过点P的直线交圆C于A、B两点，且△PBC的面积是△PAC的面积的2倍，则实数m的取值范围为 ．

Answer 1

【答案】（ ，4）
【解析】解：点P（0，1）在圆C：x2+y2+2mx﹣2y+m2﹣4m+1=0内， ∴1﹣2+m2﹣4m+1＜0，
解得0＜m＜4；
又圆C化为标准方程是（x+m）2+（y﹣1）2=4m，圆心C（﹣m，1）；
∵△PBC的面积是△PAC的面积的2倍，
∴PB=2PA，
设直线l的方程为：y=kx+1．
圆心C到直线l的距离d= = ．
∴ =3 ，可得：9m2﹣4m=10d2=10× ，
∴9﹣ = ∈[0，10），
解得： ．
当m= 时，四点共线没有三角形，
∴实数m的取值范围为（ ，4）．
所以答案是：（ ，4）．

【考点精析】通过灵活运用点与圆的位置关系，掌握点与圆的位置关系有三种：若，则点在圆外;点在圆上;点在圆内即可以解答此题．