Question

7．如图，函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|≤$\frac{π}{2}$）与坐标轴的三个交点P、Q、R满足P（1，0），M（2，-2）为线段QR的中点，则A=（　　）

• A． 2$\sqrt{3}$
• B． $\frac{7\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{8\sqrt{3}}{3}$
• D． 4$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由题意设出Q（2a，0）a＞0，R（0，b），b＜0，求出a，b的值，通过五点法求出函数的解析式，即可求出A．

解答 解：∵函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|≤$\frac{π}{2}$）与坐标轴的三个交点P、Q、R满足P（1，0）、M（2，-2）为线段QR的中点，
∴设Q（2a，0），a＞0，R（0，b），b＜0，
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2a+0}{2}=2}\\{\frac{0+b}{2}=-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=-4}\end{array}\right.$，
即Q（4，0），R（0，-4），
则函数的周期T=2×（4-1）=6，
即$\frac{2π}{ω}=6$，即ω=$\frac{π}{3}$，
则f（x）=Asin（$\frac{π}{3}$x+φ），
∵f（1）=0，且f（0）=-4，
∴Asin（$\frac{π}{3}$+φ）=0，且Asinφ=-4，
即$\frac{π}{3}$+φ=kπ，k∈Z，
则φ=kπ-$\frac{π}{3}$，
∵φ|≤$\frac{π}{2}$，
∴当k=0时，φ=-$\frac{π}{3}$，
则Asin（-$\frac{π}{3}$）=-4，
即$-\frac{\sqrt{3}}{2}$A=-4，
解得A=$\frac{8}{\sqrt{3}}$=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
故选：C

点评 本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，求得Q点与R点的坐标是关键，考查识图、运算与求解能力，属于中档题．