Question

15．已知函数f（x）=ax³+bx²-3x在x=±1处取得极值．
（1）求a、b的值；
（2）求过点A（0，16）且与曲线y=f（x）相切的切线方程．

Answer 1

分析 （1）利用极值的意义，建立方程，即可求a，b；
（2）设切点坐标．利用导数的几何意义求切线方程，然后利用切线过原点，确定切点坐标即可

解答 解：（1）f′（x）=3ax²+2bx-3，
依题意，f′（1）=f′（-1）=0，
即$\left\{\begin{array}{l}{3a+2b-3=0}\\{3a-2b-3=0}\end{array}\right.$，
解得a=1，b=0．
（2）曲线方程为y=x³-3x，点A（0，16）不在曲线上．
设切点为M（x₀，y₀），则点M的坐标满足y₀=${{x}_{0}}^{3}$-3x₀．
因f′（x₀）=3（${{x}_{0}}^{2}$-1），故切线的方程为y-y₀=3（${{x}_{0}}^{2}$-1）（x-x₀）
注意到点A（0，16）在切线上，有16-（${{x}_{0}}^{3}$-3x₀）=3（ ${{x}_{0}}^{2}$-1）（0-x₀），
化简得：${{x}_{0}}^{3}$=-8，解得x₀=-2．
所以，切点为M（-2，-2），切线方程为9x-y+16=0．

点评 本题主要考查函数的单调性与极值，考查导数的几何意义，要注意过点的切线和在点处的切线的不同．