Question

6．如图，圆O与离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$的椭圆T：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）相切于点M（0，1）．
（1）求椭圆T与圆O的方程．
（2）过点M引直线l（斜率存在），若直线l被椭圆T截得的弦长为2．①求直线l的方程；②设P（x，y）为圆O上的点，求点P到直线l的最大距离．

Answer 1

分析 （1）由切点可得b=1，即圆的半径为1，可得圆的方程；再由离心率公式和a，b，c的关系，可得a=2，进而得到椭圆方程；
（2）①设直线l：y=kx+1，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，计算可得k，进而得到直线方程；
②根据对称性可知P到直线l的距离最大为圆心到直线的距离加上半径，由点到直线的距离公式，计算即可得到．

解答 解：（1）由题意可知，圆的半径r=1，
∴圆O的方程为：x²+y²=1，
在椭圆T中，b=1，又$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，a²=b²+c²
∴a²=4，b²=1，
所以椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$；
（2）①设直线l：y=kx+1，
设l与椭圆T交于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
∴$\left\{\begin{array}{l}y=kx+1\\ \frac{x^2}{4}+{y^2}=1\end{array}\right.$消去y得：（1+4k²）x²+8kx=0，
∴${x_1}+{x_2}=\frac{-8k}{{1+4{k^2}}}，{x_1}{x_2}=0$，
∴弦长$|{MN}|=\sqrt{（1+{k^2}）[{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}]}=\sqrt{1+{k^2}}\frac{{|{8k}|}}{{1+4{k^2}}}=2$，
解得：$k=±\frac{{\sqrt{2}}}{4}$，
∴直线l的方程为：$y=±\frac{{\sqrt{2}}}{4}x+1$；
②根据对称性可知点P（x，y）到直线l：$y=\frac{{\sqrt{2}}}{4}x+1$或$y=-\frac{{\sqrt{2}}}{4}x+1$的距离相等，
故点P（x，y）到直线l的最大距离$d=\frac{1}{{\sqrt{\frac{1}{8}+1}}}+1=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}+1$．

点评 本题考查椭圆和圆的方程的求法，同时考查直线和圆相切的条件，以及直线和椭圆相交的弦长公式，考查运算能力，属于中档题．