Question

12．已知函数f（x）=a^x（a＞0且a≠1）在区间[1，2]上的最大值比最小值大$\frac{2a}{3}$，求实数a的值．

Answer 1

分析 分别就当a＞1和当0＜a＜1时指数函数的单调性，可得关于a的方程，解方程可得．

解答 解：当a＞1时，函数f（x）=a^x在区间[1，2]上是增函数，
∴f（x）_min=f（1）=a，f（x）_max=f（2）=a²，
由题意知a²-a=$\frac{2a}{3}$，解得a=$\frac{5}{3}$，或a=0（舍去）；
当0＜a＜1时，函数f（x）=a^x在区间[1，2]上是减函数，
∴f（x）_min=f（1）=a²，f（x）_max=f（2）=a，
由题意知a-a²=$\frac{2a}{3}$，解得a=$\frac{1}{3}$，或a=0（舍去）；
综上可知，a的值为$\frac{5}{3}$或$\frac{1}{3}$

点评 本题考查指数函数的单调性和最值，涉及分类讨论的思想，属基础题．