Question

4．已知a＞1，b＞0，a+b=2，则$\frac{1}{a-1}$+$\frac{1}{b}$的最小值为4．

Answer 1

分析 由题意可得a-1＞0，a-1+b=1，整体代入可得$\frac{1}{a-1}$+$\frac{1}{b}$=（a-1+b）（$\frac{1}{a-1}$+$\frac{1}{b}$）=2+$\frac{b}{a-1}$+$\frac{a-1}{b}$，由基本不等式可得．

解答 解：∵a＞1，b＞0，a+b=2，
∴a-1＞0，a-1+b=1，
∴$\frac{1}{a-1}$+$\frac{1}{b}$=（a-1+b）（$\frac{1}{a-1}$+$\frac{1}{b}$）
=2+$\frac{b}{a-1}$+$\frac{a-1}{b}$≥2+2$\sqrt{\frac{b}{a-1}•\frac{a-1}{b}}$=4
当且仅当$\frac{b}{a-1}$=$\frac{a-1}{b}$即a=$\frac{3}{2}$且b=$\frac{1}{2}$时取等号．
故答案为：4

点评 本题考查基本不等式求最值，整体凑出可用基本不等式的形式是解决问题的关键，属基础题．