Question

3．已知A，D分别是椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左顶点和上顶点，点P是线段AD上的任意一点，点F₁，F₂分别是椭圆的左，右焦点，且$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}$的最大值是1，最小值是-$\frac{11}{5}$，则椭圆的标准方程$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．

Answer 1

分析 由题意$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}$的最大值是1，可得a²-c²=1，即b=1，利用$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}$的是最小值是-$\frac{11}{5}$，解得a，b，即可求椭圆方程．

解答 解：由题意$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}$的最大值是1，可得a²-c²=1，即b=1，
∴AD的方程为y=$\frac{x}{a}$+1，
设P（x，y）（-a≤x≤0），
则$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}$=（x+c，y）•（x-c，y）=x²-c²+y²=（1+$\frac{1}{{a}^{2}}$）（x+$\frac{a}{1+{a}^{2}}$）²-$\frac{{a}^{4}-{a}^{2}-1}{1+{a}^{2}}$
∵$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}$的最小值是-$\frac{11}{5}$，
∴-$\frac{{a}^{4}-{a}^{2}-1}{1+{a}^{2}}$=-$\frac{11}{5}$，
∴a=2，b=1，
所求的椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、向量的数量积的坐标表示，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．