题目内容
15.求棱长为1的正四面体的外接球、内切球的表面积.分析 画出图形,确定两个球的关系,通过正四面体的体积,求出两个球的半径的比值,即可求棱长为1的正四面体的外接球、内切球的表面积.
解答 解:设正四面体为PABC,两球球心重合,设为O.
设PO的延长线与底面ABC的交点为D,则PD为正四面体PABC的高,PD⊥底面ABC,且PO=R,OD=r,OD=正四面体PABC内切球的高.
设正四面体PABC底面面积为S.
将球心O与四面体的4个顶点PABC全部连接,
可以得到4个全等的正三棱锥,球心为顶点,以正四面体面为底面.
每个正三棱锥体积V1=$\frac{1}{3}$•S•r 而正四面体PABC体积V2=$\frac{1}{3}$•S•(R+r)
根据前面的分析,4•V1=V2,
所以,4•$\frac{1}{3}$•S•r=$\frac{1}{3}$•S•(R+r),
所以,R=3r,
因为棱长为1,所以AD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$,
所以PD=$\frac{\sqrt{6}}{3}$,
所以R=$\frac{\sqrt{6}}{4}$,r=$\frac{\sqrt{6}}{12}$
所以棱长为1的正四面体的外接球为4π•($\frac{\sqrt{6}}{4}$)2=$\frac{3}{2}$π、内切球的表面积为4π•($\frac{\sqrt{6}}{12}$)2=$\frac{π}{6}$.
点评 本题是中档题,考查正四面体的内切球与外接球的表面积,找出两个球的球心重合,半径的关系是解题的关键,考查空间想象能力,计算能力.
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