Question

7．对于任意的x，表达式$\frac{2}{\sqrt{k{x}^{2}-4kx+k+3}}$都有意义，则k的取值范围是[0，1）．

Answer 1

分析 由题意可得kx²-4kx+k+3＞0恒成立，对k讨论，当k=0时，当k＞0且判别式小于0，运用二次不等式的解法，即可得到所求范围．

解答 解：由题意可得kx²-4kx+k+3＞0恒成立，
当k=0时，3＞0恒成立；
当k＞0且判别式16k²-4k（k+3）＜0，不等式恒成立，
解得k＞0且0＜k＜1，即为0＜k＜1．
综上可得0≤k＜1．
故答案为：[0，1）．

点评 本题考查不等式恒成立问题的解法，注意对二次项系数k讨论，考查运算能力，属于中档题和易错题．