题目内容
20．椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左右焦点分别是F1，F2，离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，过F2且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．（1）求椭圆C的方程；
（2）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，若k≠0，试证明$\frac{1}{k{k}_{1}}$+$\frac{1}{k{k}_{2}}$为定值，并求出这个定值．
分析 （1）把x=c代入椭圆方程得$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，解得y=±$\frac{{b}^{2}}{a}$，由已知过F2且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1，可得$\frac{2{b}^{2}}{a}$=1．再利用e=$\frac{c}{a}$，及a2=b2+c2即可得出椭圆方程；
（2）设|PF1|=t，|PF2|=n，由角平分线的性质可得$\frac{t}{n}$=$\frac{|M{F}_{1}|}{|{F}_{2}M|}$=$\frac{\sqrt{3}+m}{\sqrt{3}-m}$，利用椭圆的定义可得t+n=2a=4，消去t得n，再根据a-c＜n＜a+c，即可得到m的取值范围；
（3）设P（x0，y0），不妨设y0＞0，由椭圆方程，取y=$\sqrt{1-\frac{{x}^{2}}{4}}$，利用导数即可得到切线的斜率，再利用斜率计算公式即可得到k1，k2，代入即可证明结论．
解答 
解：（1）把x=c代入椭圆方程得得$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，解得y=±$\frac{{b}^{2}}{a}$，
∵过F2且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1，
∴$\frac{2{b}^{2}}{a}$=1．
又e=$\frac{c}{a}$，联立得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2{b}^{2}}{a}=1}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=1}\\{c=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y2=1．
（2）如图所示，设|PF1|=t，|PF2|=n，
由角平分线的性质可得$\frac{t}{n}$=$\frac{|M{F}_{1}|}{|{F}_{2}M|}$=$\frac{\sqrt{3}+m}{\sqrt{3}-m}$，
又t+n=2a=4，消去t得到$\frac{4-n}{n}$=$\frac{\sqrt{3}+m}{\sqrt{3}-m}$，
化为n=$\frac{2（\sqrt{3}-m）}{\sqrt{3}}$，
∵a-c＜n＜a+c，即2-$\sqrt{3}$＜$\frac{2（\sqrt{3}-m）}{\sqrt{3}}$＜2+$\sqrt{3}$，
解得-$\frac{3}{2}$＜m＜$\frac{3}{2}$．
∴m的取值范围为（-$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$）．
（3）证明：设P（x0，y0），
不妨设y0＞0，由椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{4}$+y2=1．
取y=$\sqrt{1-\frac{{x}^{2}}{4}}$，则y′=-$\frac{\frac{2x}{4}}{2\sqrt{1-\frac{{x}^{2}}{4}}}$=-$\frac{x}{4\sqrt{1-\frac{{x}^{2}}{4}}}$，
∴k=kl=-$\frac{{x}_{0}}{4\sqrt{1-\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}}}$=-$\frac{{x}_{0}}{4{y}_{0}}$．
∵k1=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+\sqrt{3}}$，k2=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-\sqrt{3}}$，
∴$\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}$=$\frac{2{x}_{0}}{{y}_{0}}$，
∴$\frac{1}{k{k}_{1}}$+$\frac{1}{k{k}_{2}}$=-$\frac{4{y}_{0}}{{x}_{0}}$•$\frac{2{x}_{0}}{{y}_{0}}$=-8为定值．
点评 本题综合考查了椭圆的定义、标准方程及其性质、角平分线的性质、利用导数的几何意义研究切线、斜率计算公式等基础知识，考查了推理能力、分类讨论的思想方法、计算能力、分析问题和解决问题的能力．
