题目内容
【题目】已知函数
的定义域为
.
（1）若
是单调函数，且有零点，求实数a的取值范围；
（2）若
，求的值域；
（3）若
恒成立，求实数a的取值范围.
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【解析】
（1）根据二次函数对称轴与区间
的位置关系，以及零点存在性定理，求得
的取值范围.
（2）当
时，利用
的单调性，求得的值域.
（3）将对称轴分成在区间内和外两种情况，结合函数的最值进行分类讨论，由此求得实数的取值范围.
（1）因为
是单调函数，所以
，得
或
.
因为是单调函数，且有且只有一个零点，所以
，
即
，得
或
.因此实数a的取值范围为.
（2）当时，
在
单调递减，在
单调递增，
所以
，因此的值域为.
（3）因为二次函数
在
单调递减，在
单调递增，
的定义域为
，所以
等价于
或
．解得
或
或
.
因此实数a的取值范围为.
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（吨）标准煤的几组对照数据：
| 3 | 4 | 5 | 6 |
| 2.5 | 3 | 4 | 4.5 |
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（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程
；
（3）已知该厂技术改造前100吨甲产品能耗为90吨标准煤，试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？
（参考:用最小二乘法求线性回归方程系数公式
，
）
