题目内容
已知以向量v=为方向向量的直线l过点,抛物线C:y2=2px(p>0)的顶点关于直线l的对称点在该抛物线的准线上.
(1)求抛物线C的方程;
(2)设A、B是抛物线C上两个动点,过A作平行于x轴的直线m,直线OB与直线m交于点N,若·+p2="0" (O为原点,A、B异于原点),试求点N的轨迹方程.
(1)求抛物线C的方程;
(2)设A、B是抛物线C上两个动点,过A作平行于x轴的直线m,直线OB与直线m交于点N,若·+p2="0" (O为原点,A、B异于原点),试求点N的轨迹方程.
(1)y2=4x(2)点N的轨迹方程为x=-2(y≠0)
(1)由题意可得直线l的方程为y=x+, ①
过原点垂直于l的直线方程为y="-2x. " ②
解①②得x=-.
∵抛物线的顶点关于直线l的对称点在该抛物线的准线上,
∴-=-×2, p=2.
∴抛物线C的方程为y2=4x.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),N(x,y),由题意知y=y1.
由·+ p 2=0,得x1x2+y1y2+4=0,
又y12=4x1,y22=4x2,解得y1y2="-8, " ③
直线ON:y=x,即y=x. ④
由③、④及y=y1得点N的轨迹方程为x=-2(y≠0).
过原点垂直于l的直线方程为y="-2x. " ②
解①②得x=-.
∵抛物线的顶点关于直线l的对称点在该抛物线的准线上,
∴-=-×2, p=2.
∴抛物线C的方程为y2=4x.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),N(x,y),由题意知y=y1.
由·+ p 2=0,得x1x2+y1y2+4=0,
又y12=4x1,y22=4x2,解得y1y2="-8, " ③
直线ON:y=x,即y=x. ④
由③、④及y=y1得点N的轨迹方程为x=-2(y≠0).
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