题目内容
【题目】已知点为圆
上一点,
轴于点
,
轴于点
,点
满足
(
为坐标原点),点
的轨迹为曲线
.
(Ⅰ)求的方程;
(Ⅱ)斜率为的直线
交曲线
于不同的两点
、
,是否存在定点
,使得直线
、
的斜率之和恒为0.若存在,则求出点
的坐标;若不存在,则请说明理由.
【答案】(Ⅰ),(Ⅱ)存在,
或
【解析】
(Ⅰ)设,
,由
将
用
表示,然后将
代入
,化简即可得到结果;
(Ⅱ)假设存在定点满足题意,设
,
,斜率为
的直线
的方程为
,联立直线与椭圆方程,利用韦达定理和斜率和为0恒成立,可得结果.
(Ⅰ)设,
,
则,
,
由得
,
所以,所以
,
又在圆
上,
所以,即
.
(Ⅱ)假设存在定点满足题意,设
,
,斜率为
的直线
的方程为
,
则,得
,,
所以,解得
又,
,
因为,
所以,
则,
则,
则,
则,
则,
所以对任意的
恒成立,
所以,解得
或
,
所以存在定点或
,使得
、
的斜率之和恒为0.
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