题目内容
【题目】已知函数(
为常数,
).给你四个函数:①
;②
;③
;④
.
(1)当时,求不等式
的解集;
(2)求函数的最小值;
(3)在给你的四个函数中,请选择一个函数(不需写出选择过程和理由),该函数记为,
满足条件:存在实数a,使得关于x的不等式
的解集为
,其中常数s,
,且
.对选择的
和任意
,不等式
恒成立,求实数a的取值范围.
【答案】(1);(2)
;(3)
.
【解析】
(1)令,则
的解为
或
,由后者可得
的解.
(2)令,则
,分类讨论后可求
,
的最小值,该最小值即为原来函数的最小值.
(3)取,可以证明
满足条件,再利用换元法考虑任意
,不等式
恒成立可得实数
的取值范围.
(1)当时,
.
令,因为
的解为
或
,
所以(舍)或
,故
,
所以的解集为
.
(2)令,则
,
函数的最小值即为
,
的最小值.
当即
时,
.
当即
时,
;
当即
时,
.
故.
(3)取,
令,设
的解集为闭区间
,
由得
,故
的解集为
,
取,则
,故
满足条件.
当时,
,故
在
上恒成立,
故,解得
,
所以实数的取值范围是
.
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