Question

【题目】（本小题满分10分）设个正数满足（且）．

（1）当时，证明：；

（2）当时，不等式也成立，请你将其推广到（且）个正数的情形，归纳出一般性的结论并用数学归纳法证明．

Answer 1

【答案】（1）详见解析，（2）（且）．

【解析】

试题分析：（1）由于与积为，所以利用基本不等式进行证明：，，，三式相加得，即（2）本题结构对称，易于归纳出，用数学归纳法证明时的难点在于明确时式子与式子关系：其差为，问题转化为证明，这可利用作差，因式分解得证.

试题解析：（1）证明：因为（且）均为正实数，

左—右=

=0，

所以，原不等式成立． 4分

（2）归纳的不等式为：

（且）． 5分

记，

当（）时，由（1）知，不等式成立；

假设当（且）时，不等式成立，即

．

则当时，

= 7分

=

=，

因为，，，

所以，

所以当，不等式成立． 9分

综上所述，不等式（且）成立． 10分