题目内容
【题目】如图，在三棱锥
中，
，
，
为
中点.
（1）求证：
平面
；
（2）若点
是棱
的中点，求异面直线
与
的夹角.
【答案】（1）见解析；（2）
.
【解析】
（1）由等腰三角形三线合一得出
，连接
，计算出
三边边长，利用勾股定理证明出
，然后利用直线与平面垂直的判定定理可得出
平面
；
（2）取
中点
，
中点
，连接
、
、
、
，由中位线的性质可得出
，
，由此可得出异面直线
与
所成的角为
或其补角，然后计算出
三边边长，利用余弦定理求出，即可得出答案.
（1）
，
为
的中点，
，且
.
连接
，
，
，
，
.
且有
，
.
，
，
，、
平面，
平面；
（2）取中点，中点，连接、、、，
、分别为、的中点，
，且
.
，且
，
为
的中点，则
.
又
为的中点，
，且
.
所以，异面直线与所成的角为或其补角.
平面，
平面，
，
易知
，且
.
在
中，点是斜边的中点，则
.
在中，
，
，
.
由余弦定理得
.
因此，异面直线与所成的角为
.
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