题目内容

【题目】已知函数.

1)若,求的最大值;

2)当时,讨论极值点的个数.

【答案】12时,极值点的个数为0个;时,极值点的个数为2

【解析】

1)利用导数求出单调性,从而求得的最大值;

2)先求导数,,导数的符号由分子确定,先分讨论,时,易得,当时,将看成关于的二次函数,由确定的符号,从而判断极值点的个数.

1)当时,

此时,函数定义域为

得:;由得:

所以上单调递增,在上单调递减.

所以.

2)当时,函数定义域为

时,对任意的恒成立,

上单调递减,所以此时极值点的个数为0个;

时,设

i)当,即时,

对任意的恒成立,即上单调递减,

所以此时极值点的个数为0个;

ii)当,即时,记方程的两根分别为

,所以都大于0

上有2个左右异号的零点,

所以此时极值点的个数为2.

综上所述时,极值点的个数为0个;

时,极值点的个数为2.

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