题目内容
【题目】如图，在棱长为1的正方体
中，P为线段
上的动点，下列说法正确的是（ ）
A.对任意点P，
平面
B.三棱锥
的体积为
C.线段DP长度的最小值为
D.存在点P，使得DP与平面
所成角的大小为
【答案】ABC
【解析】
对四个选项逐一分析，
对于A：平面
平面
，可得
平面；
对于B：三棱锥
的高均为1，底面
的面积为
，根据锥体体积公式计算即可作出判断；
对于C：当点P为
的中点时，DP最小，此时
，在
中利用勾股定理进行计算可得出DP的最小值；
对于D：设点P在平面
上的投影为点Q，
为DP与平面所成的角，
，
，而
，所以DP与平面所成角的正弦值的取值范围是
，而
，从而作出判断.
由题可知，正方体的面对角线长度为
，
对于A：分别连接
、
、
、
、
，易得平面平面，
平面
，故对任意点P，平面，故正确；
对于B：分别连接
、
，无论点P在哪个位置，三棱锥的高均为1，底面的面积为，所以三棱锥的体积为
，故正确；
对于C：线段DP在
中，当点P为的中点时，DP最小，此时，在中，
，
故DP的最小值为
，故正确；
对于D：点P在平面上的投影在线段上，设点P的投影为点Q，则为DP与平面所成的角，，，
而
，所以DP与平面所成角的正弦值的取值范围是，而，
所以不存在点P，使得DP与平面所成角的大小为
，故错误.
故选：ABC.
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【题目】目前，新冠病毒引发的肺炎疫情在全球肆虐，为了止损，某地一水果店老板利用抖音直播卖货，经过一段时间对一种水果的销售情况进行统计，得到
天的数据如下：
销售单价 |
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销售量 |
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（1）建立
关于
的回归直线方程；
（2）该水果店开展促销活动，当该水果销售单价为
元/
时，其销售量达到
，若由回归直线方程得到的预测数据与此次促销活动的实际数据之差的绝对值不超过
，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问：（1）中得到的回归直线方程是否理想？
（3）根据（1）的结果，若该水果成本是元/，销售单价为何值时（销售单价不超过
元/），该水果店利润的预计值最大？
参考公式：回归直线方程
，其中
，
.
参考数据：
，
.
