Question

7．已知过点P（O，1）斜率为k的直线l交双曲线x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1于A，B两点．
（1）求k的取值范围；
（2）当k=1时，求△AOB的面积．

Answer 1

分析 （1）设直线l：y=kx+1，代入双曲线的方程，消去y，可得x的二次方程，运用判别式大于0，且二次项系数不为0，解不等式即可得到所求范围；
（2）求得l的方程，将直线方程代入双曲线方程，解得A，B的坐标，进而运用面积公式即可得到所求．

解答 解：（1）设直线l：y=kx+1，
代入双曲线的方程可得，
（3-k²）x²-2kx-4=0，
由3-k²≠0，△＞0，可得
k≠±$\sqrt{3}$，且4k²+16（3-k²）＞0，
解得-2＜k＜2且k≠±$\sqrt{3}$；
（2）由k=1，可得直线y=x+1，
代入双曲线的方程，可得x²-x-2=0，
解得x=2或-1，
即有A（2，3），B（-1，0），
则△AOB的面积为$\frac{1}{2}$×3×1=$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查直线和双曲线的位置关系，注意联立直线方程和双曲线的方程，消去一个未知数，运用判别式大于0，注意二次项系数帮不为0，考查求三角形的面积和运算能力，属于中档题．