题目内容
【题目】已知抛物线:
,圆
:
.
(1)若过抛物线的焦点
的直线
与圆
相切,求直线
方程;
(2)在(1)的条件下,若直线交抛物线
于
,
两点,
轴上是否存在点
使
(
为坐标原点)?若存在,求出点
的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)切线方程为或
.(2)见解析
【解析】
(1)先求得抛物线的焦点,根据点斜式设出直线的方程,利用圆心到直线的距离等于半径,求出直线
的方程.(2)联立直线
的方程和抛物线的方程,化简后写出韦达定理,根据
,则
列方程,解方程求得
的值,进而求得
点的坐标.
解:(1)由题知抛物线的焦点为
,
当直线的斜率不存在时,过点的直线不可能与圆
相切;
所以过抛物线焦点与圆相切的直线的斜率存在,
设直线斜率为,则所求的直线方程为
,即
,
所以圆心到直线的距离为
,
当直线与圆相切时,有
,
所以所求的切线方程为或
.
(2)由(1)知,不妨设直线:
,交抛物线于
,
两点,
联立方程组,
所以,
,
假设存在点使
,
则.
而,
,
所以
,
即,
故存在点符合条件.
当直线:
时,
由对称性易知点也符合条件.
综合可知在(1)的条件下,存在点使
.
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