题目内容
【题目】在如图所示的几何体中,四边形为矩形,平面
,
//
,
,
,点
点P在棱
上.
(1)求证: ;
(2)若是
的中点,求异面直线
与
所成角的余弦值;
(3)是否存在正实数,使得
,且满足二面角
的余弦值为
,若存在,求出
的值,若不存在,请说明理由.
【答案】(1)见解析;(2);(3)2
【解析】试题分析:(1)利用面面垂直的性质定理、线面垂直的判定定理及其性质定理即可得出.
(2)以为坐标原点,
分别为
轴建立如图所示空间直角坐标系
.
求得,
利用平面法向量的夹角公式即可得出异面直线
与
所成角的余弦值;
(3)假设存在正实数满足题意,易知平面
的一个法向量为
,设
,
由,求得
,进而求得
,
,求得平面
的一个法向量为
,利用平面法向量的夹角公式即可得出.
试题解析:(1)证: 平面
平面
,
平面平面
,
又
又四边形为矩形,
以为坐标原点,
分别为
轴建立如图所示空间直角坐标系
.则
,
,
,则
,
,
异面直线
所成角的余弦值为
(3)假设存在正实数满足题意,易知平面
的一个法向量为
,设
,
由得:
得:
即:
,
设平面的一个法向量为
则
即
令
,则
,
即 , 则
解之得:
综上所述,存在满足题意.
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