题目内容
【题目】如图,在三棱柱中,
平面ABC,
,
,E是BC的中点.
求证:
;
求异面直线AE与
所成的角的大小;
若G为
中点,求二面角
的正切值.
【答案】(1)见解析;(2);(3)
【解析】
分析:(1)由BB1⊥面ABC及线面垂直的性质可得AE⊥BB1,由AC=AB,E是BC的中点,及等腰三角形三线合一,可得AE⊥BC,结合线面垂直的判定定理可证得AE⊥面BB1C1C,进而由线面垂直的性质得到AE⊥B1C;(2)取B1C1的中点E1,连A1E1,E1C,根据异面直线夹角定义可得,∠E1A1C是异面直线A与A1C所成的角,设AC=AB=AA1=2,解三角形E1A1C可得答案;(3)连接AG,设P是AC的中点,过点P作PQ⊥AG于Q,连EP,EQ,则EP⊥AC,由直三棱锥的侧面与底面垂直,结合面面垂直的性质定理,可得EP⊥平面ACC1A1,进而由二面角的定义可得∠PQE是二面角C﹣AG﹣E的平面角.
详解:
证明:因为
面ABC,
面ABC,所以
由,E为BC的中点得到
面
,
解:取
的中点
,连
,
,
则,
是异面直线AE与
所成的角
设,则由
,
可得,
,
,
在
中,
所以异面直线AE与所成的角为
连接AG,设P是AC的中点,过点P作
于Q,连EP,EQ,则
又平面
平面
平面
而.
是二面角
的平面角
由,
,
,得
所以二面角的平面角正切值是
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