题目内容
【题目】已知函数.
(1)求函数的单调区间和最小值;
(2)若函数在
上的最小值为
,求
的值;
(3)若,且
对任意
恒成立,求
的最大值.
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)3
【解析】试题分析:(1)求导函数,由导数的正负,可得函数的单调区间;
(2),对
结合在
上的最小值为
,分类讨论,建立等式,从而可得结论.
(3)问题转化为对任意
恒成立,设
,根据函数的单调性求出
的值即可.
试题解析:(1)的单调增区间为
,单调减区间为
,
(2),
,
Ⅰ.当时,
,
在
上单调递增,
,所以
,舍去.
Ⅱ.当时,
在
上单调递减,在
上单调递增,
①若,
在
上单调递增,
,所以
,舍去,
②若,
在
上单调递减,在
上单调递增,所以
,解得
.
③若,
在
上单调递减,
,所以
,舍去,
综上所述, .
(3)由题意得: 对任意
恒成立,即
对任意
恒成立.
令,则
,令
,则
,
所以函数在
上单调递增,
因为方程在
上存在唯一的实根
,且
,当
时,
,即
,
当时,
,即
.
所以函数在
上递减,在
上单调递增.
所以
所以,又因为
,故整数
的最大值为3.
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