题目内容
【题目】设函数,
.
(1)当时,求函数
的单调区间及所有零点;
(2)设,
,
为函数
图象上的三个不同点,且
.问:是否存在实数
,使得函数
在点
处的切线与直线
平行?若存在,求出所有满足条件的实数
的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)函数的单调递增区间是
,零点是
;(2)存在,且
.
【解析】
试题分析:(1)定义域为
,当
时,求导得
,由于没办法画图导函数图象,所以再次求导得
,故一阶导数在
单调递减,在
单调递增,且
,所以原函数
在定义域上为增函数,且
是唯一零点;(2)化简
,
,由此求得
处切线的斜率,利用
两点坐标,求出直线
的斜率,两者相等,化简后按
,
讨论后可知
符合题意.
试题解析:
解:(1)当时,
,
则,
记,
则,即
,
从而,在
上单调递增,在
上单调递减,则
,即
恒成立,
故在
上单调递增,无单调递减区间,又
,则0为唯一零点.
(2)由题意知,
则,
直线的斜率
,则有:
,
即,
即,
即,即
,①
当时,①式恒成立,满足条件;
当时,①式得
,②
记,不妨设
,则
,②式得
.③
由(1)问可知,方程③在上无零点.
综上,满足条件的实数.
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