Question

12．若a为正常数，θ为变量，圆C：（x-2acosθ）²+（y-2asinθ）²=a²．
（1）求证：圆心在一定圆上；
（2）求证：圆C恒与某定圆相切；
（3）当θ（θ∈R）变化时，求动圆C所覆盖的区域的面积．

Answer 1

分析 （1）确定圆心坐标，即可证明圆心在一定圆上；
（2）由（1）知，圆心坐标（2acosθ，2asinθ）与原点的距离为2a，可证明圆C恒与某定圆相切；
（3）当θ（θ∈R）变化时，动圆C所覆盖的区域的面积为π（9a²-a²）．

解答 （1）证明：圆C：（x-2acosθ）²+（y-2asinθ）²=a²的圆心坐标为（2acosθ，2asinθ），半径为a，
∴圆心坐标为（2acosθ，2asinθ）满足x²+y²=4a²，即圆心在以（0，0）为圆心，2a为半径的圆上；
（2）证明：由（1）知，圆心坐标（2acosθ，2asinθ）与原点的距离为2a，
∴圆C恒与圆x²+y²=a²相外切，与圆x²+y²=9a²相内切；
（3）解：θ（θ∈R）变化时，求动圆C所覆盖的区域的面积为π（9a²-a²）=8πa²．

点评 本题考查圆的参数方程、圆方程的综合应用、圆的标准方程基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．