Question

【题目】已知函数f（x）=lnx﹣ （m∈R）在区间[1，e]取得最小值4，则m= ．

Answer 1

【答案】﹣3e
【解析】解：函数 的定义域为（0，+∞），

．

当f′（x）=0时， ，此时x=﹣m，如果m≥0，则无解．

所以，当m≥0时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，所以f（x）min=f（1）=﹣m=4，m=﹣4，矛盾舍去；

当m＜0时，

若x∈（0，﹣m），f′（x）＜0，f（x）为减函数，若x∈（﹣m，+∞），f′（x）＞0，f（x）为增函数，

所以f（﹣m）=ln（﹣m）+1为极小值，也是最小值；

①当﹣m＜1，即﹣1＜m＜0时，f（x）在[1，e]上单调递增，所以f（x）min=f（1）=﹣m=4，所以m=﹣4（矛盾）；

②当﹣m＞e，即m＜﹣e时，f（x）在[1，e]上单调递减，f（x）min=f（e）=1﹣ =4．所以m=﹣3e．

③当﹣1≤﹣m≤e，即﹣e≤m≤1时，f（x）在[1，e]上的最小值为f（﹣m）=ln（﹣m）+1=4．此时m=﹣e3＜﹣e（矛盾）．

综上m=﹣3e．

求出函数的导函数，然后分m的范围讨论函数的单调性，根据函数的单调性求出函数的最小值，利用最小值等于4求m的值．