Question

【题目】已知函数f（x）=xex+ax2+2x+1在x=﹣1处取得极值．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数y=f（x）﹣m﹣1在[﹣2，2]上恰有两个不同的零点，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：f'（x）=ex+xex+2ax+2，

∵f（x）在x=1处取得极值，

∴f'（﹣1）=0，解得a=1．经检验a=1适合，

∴f（x）=xex+x2+2x+1，f'（x）=（x+1）（ex+2），

当x∈（﹣∞，﹣1）时，f'（x）＜0，∴f（x）在（﹣∞，﹣1）递减；

当x∈（﹣1+∞）时，f'（x）＞0，∴f（x）在（﹣1，+∞）递增

（2）解：函数y=f（x）﹣m﹣1在[﹣2，2]上恰有两个不同的零点，

等价于xex+x2+2x﹣m=0在[﹣2，2]上恰有两个不同的实根，

等价于xex+x2+2x=m在[﹣2，2]上恰有两个不同的实根．

令g（x）=xex+x2+2x，∴g'（x）=（x+1）（ex+2），

由（1）知g（x）在（﹣∞，﹣1）递减；在（﹣1，+∞）递增．

g（x）在[﹣2，2]上的极小值也是最小值；

．

又 ，g（2）=8+2e2＞g（﹣2），

∴ ，即

【解析】（1）求出函数的导数，得到关于a的方程，求出a，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）问题等价于xex+x2+2x=m在[﹣2，2]上恰有两个不同的实根．令g（x）=xex+x2+2x，求出函数的单调性求出g（x）的最小值，从而求出m的范围即可．