题目内容
【题目】椭圆的左、右焦点分别是
,且点
在
上,抛物线
与椭圆
交于四点
(I)求的方程;
(Ⅱ)试探究坐标平面上是否存在定点,满足
?(若存在,求出
的坐标;若不存在,需说明理由.)
【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ)答案见解析.
【解析】试题分析:(I)根据椭圆定义求,再根据c求b,即得
的方程;(Ⅱ)根据椭圆和抛物线对称性得转化为研究
的垂直平分线
和
轴的交点是否为定点.联立抛物线方程与椭圆方程,利用韦达定理以及中点公式得
,再根据直线斜率公式得AB斜率,表示垂直平分线方程,求得其和
轴的交点为
,即得结论.
试题解析:(I)依题意有:
所以
所以椭圆的方程为:
(Ⅱ)法一:由于椭圆和抛物线都关于轴对称,故它们的交点也关于
轴对称,不妨设
,则
若存在点满足条件,则点
在
轴上,设
,
联立
则,
由于
所以
又
所以
则
即
故坐标平面上存在定点,满足
法二:由于椭圆和抛物线都关于轴对称,故它们的交点也关于
轴对称,不妨设
,则
的中心
依题意,只要探究的垂直平分线
和
轴的交点是否为定点.
联立
则,
所以,直线:
令得:
为定值,
故坐标平面上存在定点,满足
.
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【题目】甲、乙两所学校高三年级分别有600人,500人,为了解两所学校全体高三年级学生在该地区五校联考的数学成绩情况,采用分层抽样方法从两所学校一共抽取了110名学生的数学成绩,并作出了频数分布统计表如下:
甲校:
分组 | [70,80) | [80,90) | [90,100) | [100,110) |
频数 | 3 | 4 | 7 | 14 |
分组 | [110,120) | [120,130) | [130,140) | [140,150] |
频数 | 17 | x | 4 | 2 |
乙校:
分组 | [70,80) | [80,90) | [90,100) | [100,110) |
频数 | 1 | 2 | 8 | 9 |
分组 | [110,120) | [120,130) | [130,140) | [140,150] |
频数 | 10 | 10 | y | 4 |
(1)计算x,y的值;
(2)若规定考试成绩在[120,150]内为优秀,由以上统计数据填写下面的2×2列联表,并判断是否有90%的把握认为两所学校的数学成绩有差异;
(3)若规定考试成绩在[120,150]内为优秀,现从已抽取的110人中抽取两人,要求每校抽1人,所抽的两人中有人优秀的条件下,求乙校被抽到的同学不是优秀的概率.
甲校 | 乙校 | 总计 | |
优秀 | |||
非优秀 | |||
总计 |
参考公式:K2= ,其中n=a+b+c+d.
临界值表:
P(K2≥k0) | 0.10 | 0.05 | 0.010 |
k0 | 2.706 | 3.841 | 6.635 |