Question

【题目】设函数f（x）=2x2+bx﹣alnx．
（1）当a=5，b=﹣1时，求f（x）的单调区间；
（2）若对任意b∈[﹣3，﹣2]，都存在x∈（1，e2）（e为自然对数的底数），使得f（x）＜0成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：当a=5，b=﹣1时，f（x）=2x2+bx﹣5lnx．x∈（0，+∞），

∴f′（x）=4x﹣1﹣ = = ，

由f′（x）＜0，得﹣1＜x＜ ，由f′（x）＞0，得x＜﹣1或x＞ ，

∴f（x）的递减区间为（0， ），f（x）的递增区间为（ ，+∞）

（2）解：设：g（b）=xb+2x2﹣alnx，b∈[﹣3，﹣2]，g（b）为增函数．

根据题意可知：对任意b∈[﹣3，﹣2]，存在x∈（1，e2），使得f（x）＜0成立，则：

g（b）max=g（﹣2）=2x2﹣2x﹣alnx＜0在（1，e2）上有解，

令h（x）=2x2﹣2x﹣alnx，只需存在x0∈（1，e2），使得h（x0）＜h（1）=0即可，

∵h′（x）=4x﹣2﹣ = ，又令F（x）=4x2﹣2x﹣a，x∈（1，e2），

F′（x）=8x﹣2＞0，x∈（1，e2），

∴F（x）在（1，e2）单调递增，

∴F（x）＞F（1）=2﹣a，

当a≤2时，F（x）＞0，即h′（x）＞0，

∴h（x）在（1，e2）上增函数，

∴h（x）＞h（1）=0，不符合题意；

当a＞2时，F（1）=2﹣a＜0，F（e2）=4e4﹣2e2﹣a，

若F（e2）≤0，即a≥4e4﹣2e2=2e2（e2﹣1）＞2时，F（x）＜0，即h′（x）＜0，h（x）在（1，e2）上单调递减，

又h（1）=0，

∴存在x0∈（1，e2）使得F（x0）＜0，

若F（e2）＞0，即2＜a＜4e4﹣2e2时，在（1，e2）上存在实数m，使得F（m）=0，即x∈（1，m）时，F（x）＜0，h′（x）＜0，

∴h（x）在（1，m）上单调递减，

∴x0∈（1，m）使得h（x0）＜h（1）=0，

综上所述，当a＞2时，对任意b∈[﹣3，﹣2]，存在x∈（1，e2），使得f（x）＜0成立

【解析】（1）当a=5，b=﹣1时，求得函数解析式及定义域，求导，令f′（x）＜0求得单调递减区间，f′（x）＞0，求得单调递增区间；（2）令g（b）=xb+2x2﹣alnx，b∈[﹣3，﹣2]，问题转化为在g（b）max=g（﹣2）=2x2﹣2x﹣alnx＜0在（1，e2）上有解，亦即只需存在x0∈（1，e2），使得h（x0）＜h（1）=0即可，连续利用导函数，然后分别对当a≤2，a＞2时，看是否存在x0∈（1，e）使得h（x0）＜h（1）=0，进而得到结论．
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能正确解答此题．