题目内容
【题目】设函数f(x)=2x2+bx﹣alnx.
(1)当a=5,b=﹣1时,求f(x)的单调区间;
(2)若对任意b∈[﹣3,﹣2],都存在x∈(1,e2)(e为自然对数的底数),使得f(x)<0成立,求实数a的取值范围.
【答案】
(1)解:当a=5,b=﹣1时,f(x)=2x2+bx﹣5lnx.x∈(0,+∞),
∴f′(x)=4x﹣1﹣ =
=
,
由f′(x)<0,得﹣1<x< ,由f′(x)>0,得x<﹣1或x>
,
∴f(x)的递减区间为(0, ),f(x)的递增区间为(
,+∞)
(2)解:设:g(b)=xb+2x2﹣alnx,b∈[﹣3,﹣2],g(b)为增函数.
根据题意可知:对任意b∈[﹣3,﹣2],存在x∈(1,e2),使得f(x)<0成立,则:
g(b)max=g(﹣2)=2x2﹣2x﹣alnx<0在(1,e2)上有解,
令h(x)=2x2﹣2x﹣alnx,只需存在x0∈(1,e2),使得h(x0)<h(1)=0即可,
∵h′(x)=4x﹣2﹣ =
,又令F(x)=4x2﹣2x﹣a,x∈(1,e2),
F′(x)=8x﹣2>0,x∈(1,e2),
∴F(x)在(1,e2)单调递增,
∴F(x)>F(1)=2﹣a,
当a≤2时,F(x)>0,即h′(x)>0,
∴h(x)在(1,e2)上增函数,
∴h(x)>h(1)=0,不符合题意;
当a>2时,F(1)=2﹣a<0,F(e2)=4e4﹣2e2﹣a,
若F(e2)≤0,即a≥4e4﹣2e2=2e2(e2﹣1)>2时,F(x)<0,即h′(x)<0,h(x)在(1,e2)上单调递减,
又h(1)=0,
∴存在x0∈(1,e2)使得F(x0)<0,
若F(e2)>0,即2<a<4e4﹣2e2时,在(1,e2)上存在实数m,使得F(m)=0,即x∈(1,m)时,F(x)<0,h′(x)<0,
∴h(x)在(1,m)上单调递减,
∴x0∈(1,m)使得h(x0)<h(1)=0,
综上所述,当a>2时,对任意b∈[﹣3,﹣2],存在x∈(1,e2),使得f(x)<0成立
【解析】(1)当a=5,b=﹣1时,求得函数解析式及定义域,求导,令f′(x)<0求得单调递减区间,f′(x)>0,求得单调递增区间;(2)令g(b)=xb+2x2﹣alnx,b∈[﹣3,﹣2],问题转化为在g(b)max=g(﹣2)=2x2﹣2x﹣alnx<0在(1,e2)上有解,亦即只需存在x0∈(1,e2),使得h(x0)<h(1)=0即可,连续利用导函数,然后分别对当a≤2,a>2时,看是否存在x0∈(1,e)使得h(x0)<h(1)=0,进而得到结论.
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数的相关知识点,需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果
,那么函数
在这个区间单调递增;(2)如果
,那么函数
在这个区间单调递减;求函数
在
上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数
在
内的极值;(2)将函数
的各极值与端点处的函数值
,
比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值才能正确解答此题.
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