题目内容
【题目】如图,在四棱锥中,
底面
,底面
为矩形,且
,
为
的中点.
(1)过点作一条射线
,使得
,求证:平面
平面
;
(2)求二面角的正切值.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】试题分析:(1)由题意画出图形,连接AC交BD于F,连接FE,由底面ABCD为矩形,得F为AC的中点,又E为PC的中点,利用三角形中位线定理可得EF∥PA,则PA∥平面BDE,再由AG∥BD,利用线面平行的判定可得AG∥平面BDE,结合面面平行的判定得平面PAG∥平面BDE;
(2)取CD的中点H,连接EH,则EH∥PD,因为PD⊥底面ABCD,所以EH⊥底面ABCD,
过H作MH⊥BD,垂足为M,连接EM,则∠EMH就是二面角E-BD-C的平面角,求出即可.
试题解析:
(1)在矩形ABCD中,连接AC,
设其与BD交于点O,连接OE,则O是AC的中点,
又E是PC的中点,所以 OE∥PA,
又平面BDE,
平面BDE,所以PA∥平面BDE
同理AG∥平面BDE.
因为AG=A,
所以平面PAG∥平面BDE.;
(2)取CD的中点H,连接EH,则EH∥PD,
因为PD⊥底面ABCD,所以EH⊥底面ABCD,
过H作MH⊥BD,垂足为M,连接EM,
则∠EMH就是二面角E-BD-C的平面角
令AD=1.则PD=1,AB=2,
在Rt△EMH中,易求得EH=,MH=
,
∠EMH=
所以二角面E-BD-C的正切值为
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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