Question

已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，试讨论是否存在，使得.

Answer 1

（1）详见解析；（2）详见解析.

试题分析：（1）先求出导数为二次函数，对和进行分类讨论，根据导数的正负求出函数的单调区间；（2）由作差法将等式进行因式分解，得到
，于是将问题转化为方程在上有解，并求出该方程的两根，并判定其中一根在区间上，并由
以及确定满足条件时的取值范围，然后取相应的补集作为满足条件时的取值范围.
（1），方程的判别式为，
①当时，，则，此时在上是增函数；
②当时，方程的两根分别为，，
解不等式，解得或，
解不等式，解得，
此时，函数的单调递增区间为和，
单调递减区间为；
综上所述，当时，函数的单调递增区间为，
当时，函数的单调递增区间为和，
单调递减区间为；
（2）



，
若存在，使得，
必须在上有解，
，，
方程的两根为，，
，，
依题意，，即，
，即，
又由得，
故欲使满足题意的存在，则，
所以，当时，存在唯一满足，
当时，不存在满足.