Question

10．已知θ∈R，且sinθ-2cosθ=$\sqrt{5}$，则tan2θ=（　　）

• A． $\frac{4}{3}$
• B． $\frac{3}{4}$
• C． -$\frac{3}{4}$
• D． -$\frac{4}{3}$

Answer 1

分析 先将sinθ-2cosθ=$\sqrt{5}$移项平方得5cos²θ+4$\sqrt{5}$cosθ+4=0，解出tanθ，再运用正切的二倍角公式即可．

解答 解：∵sinθ-2cosθ=$\sqrt{5}$，
∴sinθ=2cosθ+$\sqrt{5}$，
两边平方得，sin²θ=4cos²θ+4$\sqrt{5}$cosθ+5，
所以，5cos²θ+4$\sqrt{5}$cosθ+4=0，
即（$\sqrt{5}$cosθ+2）²=0，
解得，cosθ=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，sinθ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
所以，tanθ=$\frac{sinθ}{cosθ}$=-$\frac{1}{2}$，
因此，tan2θ=$\frac{2tanθ}{1-tan^2θ}$=-$\frac{4}{3}$，
故选D．

点评 本题主要考查了同角三角函数的基本关系式，正切的二倍角公式，属于中档题．