Question

14．如图，在平行四边形ABCD中，AB=2BC，∠ABC=120°．E为线段AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A′DE，使面A′DE⊥平面BCD，F为线段A′C的中点．
（Ⅰ）求证：BF∥面A′DE；
（Ⅱ）求证：CE⊥平面A′DE
（Ⅲ）若BC=2，求三棱锥A′-DEF的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）延长CB交DE于点G，连接A'G，证明FB∥A'G，即可证明BF∥面A′DE；
（Ⅱ）证明CE⊥DE，利用面A'DE⊥面CDE，证明CE⊥平面A′DE
（Ⅲ）取A′E的中点N，连接FN，证明FN是三棱锥F-A′DE的高，即可求三棱锥A′-DEF的体积．

解答 （I）证明：延长CB交DE于点G，连接A'G，
在△GDC中，E为AB中点，且EB∥DC，所以B为GC中点．
在△A'GC中，F为A'C中点，B为GC中点，
所以FB∥A'G．
因为FB?面A'DE，A'G?面A'DE，所以FB∥面A'DE…（4分）
（II）证明：在平行四边形ABCD中，AB=2BC=4，
因为∠ABC=120°，
所以∠DAE=60°，且DE=AD=AE=EB=BC=2，
所以∠DEA=∠DAE=60°，∠BEC=∠ECB=30°，
所以∠DEC=90°，即CE⊥DE，…（6分）
因为面A'DE⊥面CDE，所以CE⊥平面A′DE…（7分）
（III）解：取A′E的中点N，连接FN，
由F为线段B的中点，得FN是C的中位线，所以FN∥CE，所以FN⊥平面A′DE，
即FN是三棱锥F-A′DE的高．…（8分）

在△EBC中，EB=BC=2，∠ABC=120°，由余弦定理得EC=2$\sqrt{3}$，所以FN=$\sqrt{3}$
S_△ADE=S_△A′DE=$\frac{1}{2}×DA×DE×sin60°$=$\sqrt{3}$，
所以三棱锥A′-DEF的体积V=$\frac{1}{3}×\sqrt{3}×\sqrt{3}$=1．…（12分）

点评 本题考查线面平行、垂直的判定，考查三棱锥A′-DEF的体积，同时考查空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．