题目内容
【题目】已知椭圆:
的离心率为
,过
的左焦点做
轴的垂线交椭圆于
、
两点,且
.
(1)求椭圆的标准方程及长轴长;
(2)椭圆的短轴的上下端点分别为
,
,点
,满足
,且
,若直线
,
分别与椭圆
交于
,
两点,且
面积是
面积的5倍,求
的值.
【答案】(1)椭圆的标准方程为:
,长轴长为4(2)
【解析】
(1)根据通径与椭圆的基本量的关系求解即可.
(2)分别设直线,直线
的方程,联立椭圆的方程,再利用三角形的面积公式表达出
面积是
面积的5倍,再代入韦达定理求解即可.
解:(1)因为椭圆的左焦点横坐标为
,
由及
,得
,
故,又
,解得:
,
所以,椭圆的标准方程为:
,长轴长为4.
(2)∵,
,
,且
,
∴直线的斜率为
,直线
斜率为
,
∴直线的方程为
,直线
的方程为
,
由得
,∴
,
,∴
,
由得
,∴
,
,∴
;
∵,
,
,
,
∴,
即,
又,
∴,
整理方程得:,
解得:.

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