题目内容
【题目】已知函数.
(1)若在
上单调递增,求实数
的取值范围;
(2)设,若
,恒有
成立,求
的最小值.
【答案】(1);(2)
【解析】
(1)由在
上单调递增,可得
在
上恒成立,利用分离参数法求出
的范围即可;
(2)设,
,根据条件求出
的范围后,根据
,可得
的最小值.
解:(1)由,得
,
由在
上单调递增,可得
在
上恒成立,
即在
上恒成立,
当时,
;当
,则
,∴
,
∴的取值范围为
.
(2)设,
,
则.
设,则
,
∴单调递增,即
在
上单调递增,
∴.
当时,
,
在
上单调递增,∴
,不符合题意;
当时,
,
在
上单调递减,
,符合题意;
当时,由于
为一个单调递增的函数,
而,
,
由零点存在性定理,必存在一个零点,使得
,
从而在
上单调递减,在
上单调递增,
因此只需,∴
,
∴,从而
,
综上,的取值范围为
,
因此.
设,则
,
令,则
,
∴在
上单调递减,在
上单调递增,
从而,
∴的最小值为
.
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