题目内容
【题目】已知圆
的圆心为
，点
是圆上的动点，点
，线段
的垂直平分线交
于
点．
（1）求点的轨迹
的方程；
（2）过点
作斜率不为0的直线
与（1）中的轨迹交于
，
两点，点关于
轴的对称点为
，连接
交轴于点
，求
．
【答案】(1)
;(2)
.
【解析】分析：（1）利用待定系数法求出点
在以
、
为焦点，长轴长为4的椭圆上，点的轨迹
的方程为．（2）先求出点Q的坐标，再利用两点间的距离公式求
．
详解：（1）由题意知，线段
的垂直平分线交
于点，所以
，
∴
，
∴点在以、为焦点，长轴长为4的椭圆上，
，
，
，
∴点的轨迹的方程为．
（2）依题意可设直线
方程为
，将直线方程代入，
化简得
，
设直线与椭圆的两交点为
，
，
由
，得
，①
且
，
，②
因为点
关于
轴的对称点为
，则
，可设
，
所以
，
所以
所在直线方程为
，
令
，得
，③
把②代入③，得
，
∴
点的坐标为
，
∴．
【题目】2019年高考刚过，为了解考生对全国2卷数学试卷难度的评价，随机抽取了某学校50名男考生与50名女考生，得到下面的列联表：
非常困难 | 一般 | |
男考生 | 20 | 30 |
女考生 | 40 | 10 |
（1）分别估计该学校男考生、女考生觉得全国2卷数学试卷非常困难的概率；
（2）从该学校随机抽取3名男考生，2名女考生，求恰有4名考生觉得全国2卷数学试卷非常困难的概率.
【题目】某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金7000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费2000元；方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费1000元.某医院准备一次性购买2台这种机器。现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：
维修次数 | 0 | 1 | 2 | 3 |
台数 | 5 | 10 | 20 | 15 |
以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率，记X表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数。
（1）求X的分布列；
（2）以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？
