题目内容
【题目】已知椭圆的左顶点为
,右焦点为
,上顶点为
,过
的直线
交椭圆
于
、
.当
与
重合时,
与
的面积分别为
、
.
(1)求椭圆的方程;
(2)在轴上找一点
,当
变化时,
为定值.
【答案】(1);(2)
轴上存在一定点
,当
变化时,
为定值
.
【解析】
(1)作轴于
,由题意得出
,可得出
、
的值,从而得出点
的坐标,将点
的坐标代入椭圆的方程得出
,
,再结合
的面积求出
的值,从而可得出椭圆
的方程;
(2)设点、
、
,设直线
的方程为
,将直线
的方程与椭圆
的方程联立,列出韦达定理,利用向量的坐标运算结合韦达定理计算
,由此得出当
时,
为定值.
(1),作
轴于
,则
,
,
因此的坐标为
,
把点代入椭圆
,有
,故
,
.
的面积为
,则
,即
,解得
.
因此,椭圆的方程为
;
(2)设点、
、
,设直线
的方程为
.
将直线的方程与椭圆
的方程联立
,消去
得
.
由韦达定理得,
.
,
,
,
当时,即当
时,
为定值
.
当轴时,可设
,此时
.
故轴上存在一定点
,当
变化时,
为定值
.
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