题目内容

(12分)我们把同时满足下列两个性质的函数称为“和谐函数” :
①函数在整个定义域上是单调增函数或单调减函数;
②在函数的定义域内存在区间,使得函数在区间上的值域为.
⑴已知幂函数的图像经过点,判断是否是和谐函数?
⑵判断函数是否是和谐函数?
⑶若函数是和谐函数,求实数的取值范围.
(1)是和谐函数。(2)不是和谐函数。(3) .

试题分析:. (1)设,由,得
上是增函数,
,得
是和谐函数。                 ………………………4分
⑵易得上的减函数,
① 若,相减得矛盾;
② 若矛盾;
③ 若矛盾。
不是和谐函数。               ………………………………………8分
上是增函数,
由函数是和谐函数知, 函数内存在区间,使得函数在区间上的值域为.

是方程在区间内的两个不等实根
在区间内的两个不等实根,
         ………………………12分
点评:(1)此题以新定义为背景,来考查函数的综合应用。考查了学生分析问题、解决问题的能力以及分类讨论的数学思想。(2)设一元二次方程)的两个实根为,且
① (两个正根)
② (两个负根)
③ (一个正根一个负根)
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