题目内容
【题目】已知函数(
为实数).
(I)讨论函数的单调性;
(II)若在
上的恒成立,求
的范围;
【答案】(I)见解析;(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ) 求得函数的导数令
,解得
或
,根据根的大小三种情况分类讨论,即可求解.
(II )依题意有在
上的恒成立,
转化为在
上的恒成立,设
,
,利用导数求得函数
的单调性与最大值,即可求解.
(Ⅰ) 由题意,函数,
则
令,解得
或
,
①当时,有
,有
,故
在
上单调递增;
②当时,有
,
随
的变化情况如下表:
极大 | 极小 |
由上表可知在
和
上单调递增,在
上单调递减;
③同②当时,有
,
有在
和
上单调递增,在
上单调递减;
综上,当时,
在
和
上单调递增,在
上单调递减;
当时,
在
上单调递增;
当时,
在
和
上单调递增,在
上单调递减.
(II )依题意有在
上的恒成立,
即在
上的恒成立,
故在
上的恒成立,
设,
,则有
…(*)
易得,令
,有
,
,
随
的变化情况如下表:
极大 |
由上表可知,
又由(*)式可知,
故的范围为
.
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练习册系列答案
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(1)求m,n的值,并求这100名学生月消费金额的样本平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(2)根据已知条件完成下面2×2列联表,并判断能否有90%的把握认为“高消费群”与性别有关?
高消费群 | 非高消费群 | 合计 | |
男 | |||
女 | 10 | 50 | |
合计 |
(参考公式:,其中
)
P( | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |