题目内容
【题目】对于定义域为
的函数
，如果存在区间
，同时满足：①函数在区间内是单调函数；②当定义域为
时，
的值域也是，则称是该函数的和谐区间.
（1）求证：函数
不存在和谐区间；
（2）已知：函数
有和谐区间，当
变化时，求出
的最大值；
（3）易知，函数
是以任一区间为它的“和谐区间”，试再举一例有和谐区间的函数，并写出它的个和谐区间（不需要证明，但是不能用本题已经讨论过的以及形如
的函数）.
【答案】（1）见解析；（2）
；（3）
和谐区间为
.
【解析】
（1）由题知函数
的定义域为
，设
是已知函数定义域的子集，得到函数在上单调递增.再假设是函数的“和谐区间”，则
，通过判断方程无实数根得到函数不存在“和谐区间”.
（2）设是函数
定义域的子集，得到函数
在上单调递增，
是方程
的同号的不相等的实数根.利用一元二次方程有两个不相等的实数根可得到
或
.所以
，由二次函数的性质即可求出最大值.
（3）可以举例常见的基本初等函数，如.
（1）设是已知函数定义域的子集.
因为，所以
或
.
所以函数在上单调递增.
若是函数的“和谐区间”，则.
所以是方程
的同号的不相等的实数根.
又因为
无实数根，
所以函数不存在“和谐区间”.
（2）设是已知函数定义域的子集.
因为，所以或.
所以函数
在上单调递增.
若是函数的“和谐区间”，则.
所以是方程的同号的不相等的实数根.
整理得：是方程
的同号的不相等的实数根.
因为
，
所以同号，只需满足
即或时，已知函数又“和谐区间”.
因为
，
所以当
时，
.
（3）例如：函数，“和谐区间”为.
【题目】平顶山市公安局交警支队依据《中华人民共和国道路交通安全法》第
条规定：所有主干道路凡机动车途经十字口或斑马线，无论转弯或者直行，遇有行人过马路，必须礼让行人，违反者将被处以
元罚款，记
分的行政处罚．如表是本市一主干路段监控设备所抓拍的
个月内，机动车驾驶员不“礼让斑马线”行为统计数据：
月份 |
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违章驾驶员人数 |
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（Ⅰ）请利用所给数据求违章人数
与月份
之间的回归直线方程
；
（Ⅱ）预测该路段
月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数．
参考公式：
，
．
【题目】某工厂的某车间共有
位工人，其中
的人爱好运动。经体检调查，这位工人的健康指数（百分制）如下茎叶图所示。体检评价标准指出：健康指数不低于
者为“身体状况好”，健康指数低于者为“身体状况一般”。
（1）根据以上资料完成下面的
列联表，并判断有多大把握认为“身体状况好与爱好运动有关系”？
身体状况好 | 身体状况一般 | 总计 | |
爱好运动 | |||
不爱好运动 | |||
总计 |
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（2）现将位工人的健康指数分为如下
组：
，
，
，
，
，其频率分布直方图如图所示。计算该车间中工人的健康指数的平均数，由茎叶图得到真实值记为
，由频率分布直方图得到估计值记为
，求与的误差值；
（3）以该车间的样本数据来估计该厂的总体数据，若从该厂健康指数不低于者中任选
人，设
表示爱好运动的人数，求的数学期望。
附：
。
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