题目内容
已知函数,为常数.
(1)若函数在处的切线与轴平行,求的值;
(2)当时,试比较与的大小;
(3)若函数有两个零点、,试证明.
(1)若函数在处的切线与轴平行,求的值;
(2)当时,试比较与的大小;
(3)若函数有两个零点、,试证明.
(1);(2)①当时,,即;②当时,;③当时,即;(3)详见解析
试题分析:(1)根据题意切线平行于x轴即斜率为0,则对函数求导可得,即,可求出a;(2)根据题意当时,函数就确定下来了,对其求导可得,可研究出函数的单调性情况,为了比较大小可引入一个新的函数,即令,则利用导数对其进行研究可得,而,则可由m与1的大小关系进行分类得出结论;(3)显然两零点均为正数,故不妨设,由零点的定义可得:,即,观察此两式的结构特征可相加也可相减化简得:,现在我们要证明,即证明,也就是.又因为,所以即证明,即.由它的结构可令=t,则,于是.构造一新函数,将问题转化为求此函数的最小值大于零,即可得证.
(1),由题,. 4分
(2)当时,,,当时,,单调递增,当时,,单调递减.
由题,令,
则. 7分
又,
①当时,,即;
②当时,;
③当时,即. 10分
(3),, ,,
, 12分
欲证明,即证,
因为,
所以即证,所以原命题等价于证明,即证:,
令,则,设,,
所以在单调递增,又因为,所以,
所以,所以 16分
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