题目内容

已知函数为常数.
(1)若函数处的切线与轴平行,求的值;
(2)当时,试比较的大小;
(3)若函数有两个零点,试证明.
(1);(2)①当时,,即;②当时,;③当时,;(3)详见解析

试题分析:(1)根据题意切线平行于x轴即斜率为0,则对函数求导可得,即,可求出a;(2)根据题意当时,函数就确定下来了,对其求导可得,可研究出函数的单调性情况,为了比较大小可引入一个新的函数,即令,则利用导数对其进行研究可得,而,则可由m与1的大小关系进行分类得出结论;(3)显然两零点均为正数,故不妨设,由零点的定义可得:,即,观察此两式的结构特征可相加也可相减化简得:,现在我们要证明,即证明,也就是.又因为,所以即证明,即.由它的结构可令=t,则,于是.构造一新函数,将问题转化为求此函数的最小值大于零,即可得证.
(1),由题.               4分
(2)当时,,当时,单调递增,当时,单调递减.
由题,令
.                  7分

①当时,,即
②当时,
③当时,.                        10分
(3) ,
,                                   12分
欲证明,即证
因为
所以即证,所以原命题等价于证明,即证:
,则,设
所以单调递增,又因为,所以
所以,所以                            16分
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