Question

【题目】如图所示，某公路 一侧有一块空地 ，其中 ， ．当地政府拟在中间开挖一个人工湖△OMN，其中M，N都在边AB上（M，N不与A，B重合，M在A，N之间），且∠MON＝30°．

（1）若M在距离A点2 km处，求点M，N之间的距离；

（2）为节省投入资金，人工湖△OMN的面积要尽可能小．试确定M的位置，使△OMN的面积最小，并求出最小面积．

Answer 1

【答案】（1） （2）最小面积是

【解析】试题分析：

（1）先利用余弦定理分别求出，再利用角度转化和正弦定理求出；（2）设，利用三角形之间的正余弦定理转化应用，解得，应用函数化简技巧，解得最小值。

试题解析：

（1）在△OAB中，因为OA＝3，OB＝3，∠AOB＝90°，所以∠OAB＝60°．

在△OAM中，由余弦定理得OM2＝AO2＋AM2－2AO·AM·cosA＝7，

所以OM＝，所以cos∠AOM＝＝，

在△OAN中，sin∠ONA＝sin(∠A＋∠AON)＝ sin(∠AOM＋90°)＝cos∠AOM＝．

在△OMN中，由＝，得MN＝×＝．

（2）解法1：设AM＝x，0＜x＜3．

在△OAM中，由余弦定理得OM2＝AO2＋AM2－2AO·AM·cosA＝x2－3x＋9，

所以OM＝，所以cos∠AOM＝＝，

在△OAN中，sin∠ONA＝sin(∠A＋∠AON)＝ sin(∠AOM＋90°)

＝cos∠AOM＝．

由＝，得ON＝·＝．

所以S△OMN＝OM·ON·sin∠MON＝···

＝，0＜x＜3．

令6－x＝t，则x＝6－t，3＜t＜6，则S△OMN＝＝ (t－9＋)

≥·(2－9)＝．

当且仅当t＝，即t＝3，x＝6－3时等号成立，S△OMN的最小值为．

所以M的位置为距离A点6－3 km处，可使△OMN的面积最小，最小面积是

km2．

解法2：设∠AOM＝θ，0＜θ＜

在△OAM中，由＝，得OM＝．

在△OAN中，由＝，得ON＝＝．

所以S△OMN＝OM·ON·sin∠MON＝···

＝＝＝

＝＝，0＜θ＜．

当2θ＋＝，即θ＝时，S△OMN的最小值为．

所以应设计∠AOM＝，可使△OMN的面积最小，最小面积是km2．