题目内容
【题目】如图所示，某公路
一侧有一块空地
，其中 
，
．当地政府拟在中间开挖一个人工湖△OMN，其中M，N都在边AB上（M，N不与A，B重合，M在A，N之间），且∠MON＝30°．
（1）若M在距离A点2 km处，求点M，N之间的距离；
（2）为节省投入资金，人工湖△OMN的面积要尽可能小．试确定M的位置，使△OMN的面积最小，并求出最小面积．
【答案】（1）
（2）最小面积是
【解析】试题分析：
（1）先利用余弦定理分别求出
，再利用角度转化和正弦定理求出；（2）设
，利用三角形之间的正余弦定理转化应用，解得
，应用函数化简技巧，解得最小值
。
试题解析：
（1）在△OAB中，因为OA＝3，OB＝3
，∠AOB＝90°，所以∠OAB＝60°．
在△OAM中，由余弦定理得OM2＝AO2＋AM2－2AO·AM·cosA＝7，
所以OM＝
，所以cos∠AOM＝
＝
，
在△OAN中，sin∠ONA＝sin(∠A＋∠AON)＝ sin(∠AOM＋90°)＝cos∠AOM＝．
在△OMN中，由
＝
，得MN＝
×
＝
．
（2）解法1：设AM＝x，0＜x＜3．
在△OAM中，由余弦定理得OM2＝AO2＋AM2－2AO·AM·cosA＝x2－3x＋9，
所以OM＝
，所以cos∠AOM＝＝
，
在△OAN中，sin∠ONA＝sin(∠A＋∠AON)＝ sin(∠AOM＋90°)
＝cos∠AOM＝．
由
＝
，得ON＝
·
＝
．
所以S△OMN＝OM·ON·sin∠MON＝···
＝
，0＜x＜3．
令6－x＝t，则x＝6－t，3＜t＜6，则S△OMN＝
＝
(t－9＋
)
≥·(2
－9)＝
．
当且仅当t＝，即t＝3，x＝6－3时等号成立，S△OMN的最小值为．
所以M的位置为距离A点6－3 km处，可使△OMN的面积最小，最小面积是
km2．
解法2：设∠AOM＝θ，0＜θ＜
在△OAM中，由
＝
，得OM＝
．
在△OAN中，由＝，得ON＝
＝
．
所以S△OMN＝OM·ON·sin∠MON＝···
＝
＝
＝
＝＝
，0＜θ＜．
当2θ＋＝
，即θ＝
时，S△OMN的最小值为．
所以应设计∠AOM＝，可使△OMN的面积最小，最小面积是
km2．
