Question

【题目】已知a、b∈R，向量 =（x ， 1）， =（﹣1，b﹣x），函数f（x）=a﹣ 是偶函数．
（1）求b的值；
（2）若在函数定义域内总存在区间[m，n]（m＜n），使得y=f（x）在区间[m，n]上的函数值组成的集合也是[m，n]，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知可得， ，且函数的定义域为

D= ．

又y=f（x）是偶函数，故定义域D关于原点对称．

于是，b=0．

又对任意x∈D有f（x）=f（﹣x）

因此所求实数b=0．

（2）解：由（1）可知， （D=（﹣∞，0）∪（0，+∞）．

考察函数 的图象，可知：f（x）在区间（0，+∞）上增函数．

f（x）在区间（﹣∞，0）上减函数

因y=f（x）在区间[m，n]上的函数值组成的集合也是[m，n]，故必有m，n同号．

①当0＜m＜n时，f（x）在 区间[m，n]上是增函数有 ，即方程 ，也就是2x2﹣2ax+1=0有两个不相等的正实数根，因此 ，解得 ．

②当m＜n＜0时，f（x）区间[m，n]上是减函数有 ，化简得（m﹣n）a=0，

解得a=0．

综上所述，所求实数a的取值范围a=0或 ．

【解析】（1）利用向量的数量积公式求出f（x），利用偶函数的定义列出方程f（x）=f（﹣x）恒成立，求出b的值．（2）先判断出f（x）的单调性，对x分段讨论求出函数f（x）的最值，列出方程组，求出a 的值．