题目内容

12.在△ABC中,a,b,c分别是三内角A,B,C的对边,已知b2+c2=a2+bc,cosB+cosC=1.
(1)求角A的大小;
(2)若c=4,求△ABC的面积.

分析 (1)由题意和余弦定理求出cosA的值,由A的范围和特殊角的余弦值求出A;
(2)由cosB+cos($\frac{2π}{3}$-B)=1,可得sin(B+$\frac{π}{6}$)=1,进而解得a=b=c=4,利用三角形面积公式即可得解.

解答 解:(1)因为b2+c2=a2+bc,
所以由余弦定理得,cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{bc}{2cb}$=$\frac{1}{2}$,…(3分)
又0<A<π,
则A=$\frac{π}{3}$,…(5分)
(2)因为A=$\frac{π}{3}$,cosB+cosC=1.
所以,cosB+cos($\frac{2π}{3}$-B)=cosB$-\frac{1}{2}$cosB+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinB=1,即:sin(B+$\frac{π}{6}$)=1,
解得B=C=$\frac{π}{3}$,a=b=c=4,…(8分)
所以S△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×4×4×sin\frac{π}{3}$=4$\sqrt{3}$.…(10分)

点评 本题考查余弦定理,两角差的余弦函数公式,平方关系,以及三角形的面积公式,注意内角的范围,属于中档题.

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