Question

（本小题满分12分）
已知甲、乙两个工厂在今年的1月份的利润都是6万，且乙厂在2月份的利润是8万元．若甲、乙两个工厂的利润(万元)与月份x之间的函数关系式分别符合下列函数模型：f(x)＝a₁x²—4x＋6，g(x)＝a₂＋b₂(a₁，a₂，b₂∈R)．
(1)求函数f(x)与g(x)的解析式；
(2)求甲、乙两个工厂今年5月份的利润；
(3)在同一直角坐标系下画出函数f(x)与g(x)的草图，并根据草图比较今年1—10月份甲、乙两个工厂的利润的大小情况．

Answer 1

(1) f(x)＝4x²－4x＋6. g(x)＝×3^x＋5＝3^x－1＋5.（2）甲、乙两个工厂今年5月份的利润相等．(3)作函数图像如下：

当x＝1或x＝5时，有f(x)＝g(x)； 当1<x<5时，有f(x)>g(x)； 当5<x≤10时，有f(x)<g(x)．

试题分析：(1)依题意：由f(1)=6,解得：a₁＝4， ∴f(x)＝4x²－4x＋6.
由，有，
解得a₂＝，b₂＝5，    ∴g(x)＝×3^x＋5＝3^x－1＋5.
（2）由（1）知甲厂在今年5月份的利润为f(5)＝86万元，乙厂在今年5月份的利润为g(5)＝86万元，故有f(5)＝g(5)，即甲、乙两个工厂今年5月份的利润相等．
(3)作函数图像如下：

从图中可以看出今年1—10月份甲、乙两个工厂的利润：
当x＝1或x＝5时，有f(x)＝g(x)； 当1<x<5时，有f(x)>g(x)； 当5<x≤10时，有f(x)<g(x)．
点评：与函数有关的应用题，经常涉及物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题，解答这类问题的关键是确切建立相关函数解析式，然后应用函数、方程和不等式的有关知识加以综合解答