题目内容

设函数,的两个极值点为,线段的中点为.
(1) 如果函数为奇函数,求实数的值;当时,求函数图象的对称中心;
(2) 如果点在第四象限,求实数的范围;
(3) 证明:点也在函数的图象上,且为函数图象的对称中心.
(1)函数图象的对称中心为(1,0).
(2).
(3)由(2)得点,推出点也在函数的图象上.    
为函数的图象上任意一点,
求得关于的对称点为 
证明在函数的图像上.证得为函数的对称中心.

试题分析:(1)【法一】因为为奇函数,所以, 得:.
时,,有,则为奇函数.   4分
【法二】,恒成立, , 求得.
时,,该图象可由奇函数的图象向右平移一个单位得到, 可知函数图象的对称中心为(1,0).   4分
(2),
,则两实根.,.
 
=
= , 
在第四象限,得:  
.    10分
(3)由(2)得点

=,所以点也在函数的图象上.      12分
为函数的图象上任意一点,
关于的对称点为 

=.
在函数的图像上.
所以,为函数的对称中心.     16分
【法二】设 



 .
为奇函数,
对称中心为.
把函数的图象按向量
平移后得的图象,
 为函数的对称中心.    16分
点评:中档题,本题解法较多,紧紧围绕函数图象的对称性展开讨论。奇函数图象关于原点对称,偶函数图象关于y轴对称。
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