题目内容
【题目】给定椭圆,称圆心在原点
,半径为
的圆是椭圆
的“准圆”.若椭圆
的一个焦点为
,其短轴上的一个端点到
的距离为
.
(1)求椭圆的方程和其“准圆”方程;
(2)点是椭圆
的“准圆”上的动点,过点
作椭圆的切线
交“准圆”于点
.
①当点为“准圆”与
轴正半轴的交点时,求直线
的方程并证明
;
②求证:线段的长为定值.
【答案】(1),
,(2)(ⅰ)
,(ⅱ)详见解析.
【解析】试题分析:(1)根据题目条件可求出的值,进而可得出椭圆
的方程和其“准圆”方程;(2)①根据条件先求出点
的坐标并设出直线
的方程,再联立椭圆
的方程,并结合
,即可求得
方程并进而证明
;②根据前面的结论,并注意对直线
的斜率进行讨论,证明线段
总是准圆
的直径,从而证得线段
的长为定值.
试题解析:(1),
椭圆方程为
,
准圆方程为.
(2)(ⅰ)因为准圆与
轴正半轴的交点为
,
设过点且与椭圆相切的直线为
,
所以由得
.
因为直线与椭圆相切,
所以,解得
,
所以方程为
.
,
.
(ⅱ)①当直线中有一条斜率不存在时,不妨设直线
斜率不存在,
则:
,
当:
时,
与准圆交于点
,
此时为
(或
),显然直线
垂直;
同理可证当:
时,直线
垂直
②当斜率存在时,设点
,其中
.
设经过点与椭圆相切的直线为
,
所以由
得.
由化简整理得
,
因为,所以有
.
设的斜率分别为
,因为
与椭圆相切,
所以满足上述方程
,
所以,即
垂直.
综合①②知:因为经过点
,又分别交其准圆于点
,且
垂直.
所以线段为准圆
的直径,
,
所以线段的长为定值.
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