Question

【题目】如图，在三棱锥P﹣ABC中，△PAB和△CAB都是以AB为斜边的等腰直角三角形．
（1）证明：AB⊥PC；
（2）若AB=2PC= ，求三棱锥P﹣ABC的体积．

Answer 1

【答案】
（1）证明：取AB的中点G，连结PG，CG．

∵△PAB和△CAB都是以AB为斜边的等腰直角三角形，

∴PG⊥AB，CG⊥AB，

∵PG∩CG=G，且PG平面PCG，CG平面PCG，

∴AB⊥平面PCG，

又∵PC平面PCG，

∴AB⊥PC

（2）解：在等腰直角三角形PAB中，AB= ，G是斜边AB的中点，

∴PG= AB= ，同理CG= ，

∵PC= ，∴△PCG是等边三角形，

∴S△PCG= PCCGsin60°= = ，

∵AB⊥平面PCG，

∴VP﹣ABC= S△PCGAB= =

【解析】（1）根据线面垂直的性质定理证明AB⊥平面PCG，然后根据线面垂直的性质即可证明AB⊥PC．（2）根据三棱锥的体积公式先求出底面积和高，进行求解即可．
【考点精析】本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系的相关知识点，需要掌握相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点才能正确解答此题．