题目内容

已知函数f(x)=ln x.
(1)若a>0,试判断f(x)在定义域内的单调性;
(2)若f(x)在[1,e]上的最小值为,求a的值;
(3)若f(x)<x2在(1,+∞)上恒成立,求a的取值范围.
(1)f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数
(2)a=-.
(3)a≥-1时,f(x)<x2在(1,+∞)上恒成立

试题分析:解 (1)由题意f(x)的定义域为(0,+∞),且f′(x)=.因为a>0,所以f′(x)>0,故f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数.  3分
(2)由(1)可知,f′(x)=.
①若a≥-1,则xa≥0,即f′(x)≥0在[1,e]上恒成立,此时f(x)在[1,e]上为增函数,
所以f(x)minf(1)=-a,所以a=- (舍去).  5分
②若a≤-e,则xa≤0,即f′(x)≤0在[1,e]上恒成立,此时f(x)在[1,e]上为减函数,
所以f(x)minf(e)=1-a=- (舍去).   7分
③若-e<a<-1,令f′(x)=0得x=-a,当1<x<-a时,f′(x)<0,所以f(x)在[1,-a]上为减函数;当-a<x<e时,f′(x)>0,所以f(x)在[-a,e]上为增函数,所以f(x)minf(-a)=ln(-a)+1=a=-
综上所述,a=-.     9分
(3)因为f(x)<x2,所以ln x<x2.又x>0,所以a>xln xx3.
g(x)=xln xx3
h(x)=g′(x)=1+ln x-3x2h′(x)=-6x.   11分
因为x∈(1,+∞)时,h′(x)<0,h(x)在(1,+∞)上是减函数.
所以h(x)<h(1)=-2<0,即g′(x)<0,
所以g(x)在[1,+∞)上也是减函数,则g(x)<g(1)=-1,
所以a≥-1时,f(x)<x2在(1,+∞)上恒成立.  13分
点评:主要是考查了导数在研究函数中的运用,属于基础题。
练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网