题目内容
【题目】已知椭圆的离心率为
,
,
分别是其左、右焦点,且过点
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若在直线上任取一点
,从点
向
的外接圆引一条切线,切点为
.问是否存在点
,恒有
?请说明理由.
【答案】(1) (2)
,或
【解析】
(1)求出后可得椭圆的标准方程.
(2)先求出的外接圆的方程,设
点为
点为
,则由
可得
对任意的
恒成立,故可得关于
的方程,从而求得
的坐标.
解:(1)因为椭圆的离心率为
,所以
. ①
又椭圆过点
,所以代入得
. ②
又. ③
由①②③,解得.所以椭圆
的标准方程为
.
(2)由(1)得,,
的坐标分别是
.
因为的外接圆的圆心一定在边
的垂直平分线上,
即的外接圆的圆心一定在
轴上,
所以可设的外接圆的圆心为
,半径为
,圆心
的坐标为
,
则由及两点间的距离公式,得
,
解得.
所以圆心的坐标为
,半径
,
所以的外接圆的方程为
,即
.
设点为
点为
,因为
,
所以,
化简,得,
所以,消去
,得
,
解得或
.
当时,
;
当时,
.
所以存在点,或
满足条件.
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